{"columns":[{"name":"id","type":"string"},{"name":"question","type":"string"},{"name":"answer","type":"string"}],"n_rows":125,"rows_kept":125,"cut":false,"text_format":"parquet-jsonl-2026-10-02","bounds":{"document_bytes":16777216,"package_text_limit_bytes":33554432,"package_text_slack_bytes":1024,"rows_first":2000,"rows_last":500,"rows_between":2000,"halvings":0,"cell_chars":16384,"cell_head_chars":4096,"vector_min":64,"vector_head_fixed":16,"vector_head_variable":64,"kv_value_chars":1048576,"nesting_max":64,"binary_text":true},"cells_cut":0,"cells_bad_utf8":0,"cells_raw":0,"cells_binary":0,"cells_binary_text":0,"cells_vector":0,"n_row_groups":1,"reader":"pyarrow 23.0.1, python 3.13","created_by":"parquet-cpp-arrow version 17.0.0","schema":{"fields":[{"name":"id","type":"string","nullable":true,"metadata":null,"children":null},{"name":"question","type":"string","nullable":true,"metadata":null,"children":null},{"name":"answer","type":"string","nullable":true,"metadata":null,"children":null}],"parquet":"required group field_id=-1 schema {\n  optional binary field_id=-1 id (String);\n  optional binary field_id=-1 question (String);\n  optional binary field_id=-1 answer (String);\n}\n"},"kv_metadata":[["ARROW:schema",{"$cut":{"chars":984,"head":""}}],["pandas","{\"index_columns\": [], \"column_indexes\": [], \"columns\": [{\"name\": \"id\", \"field_name\": \"id\", \"pandas_type\": \"unicode\", \"numpy_type\": \"object\", \"metadata\": null}, {\"name\": \"question\", \"field_name\": \"question\", \"pandas_type\": \"unicode\", \"numpy_type\": \"object\", \"metadata\": null}, {\"name\": \"answer\", \"field_name\": \"answer\", \"pandas_type\": \"unicode\", \"numpy_type\": \"object\", \"metadata\": null}], \"creator\": {\"library\": \"pyarrow\", \"version\": \"17.0.0\"}, \"pandas_version\": \"2.0.3\"}"]]}
["medium-te-0","$\\triangle ABC$ లో, $(a+c)(\\sin A - \\sin C) = b(\\sin A - \\sin B)$ నందు, x $\\angle C$ విలువ రేడియన్‌లలో ఎంత?","$\\frac{\\pi}{3}$"]
["medium-te-1","ఈ క్రింది ఫంక్షన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని:\n$$f(x) = \\ln \\frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^2.$$\nఒకవేళ \\(f(x) > -2\\) మరియు అది కేవలం \\(1 < x < 2\\) పరిధిలో మాత్రమే ఉంటే, \\(b\\) విలువల శ్రేణిని కనుగొనండి.\n","$b \\geq $-\\frac{2}{3}$"]
["medium-te-2","$\\alpha$ ఒక లఘు కోణం అయినప్పుడు $\\cos \\alpha = \\frac{1+\\sqrt{5}}{4}$ అయితే. $\\sin \\frac{\\alpha}{2}$ను కనుగొనండి\n","$\\frac{-1+\\sqrt{5}}{4}$"]
["medium-te-3","ప్రతి $n$ అంశాల జ్యామితీయ శ్రేణి $\\{a_{n}\\}$ యొక్క మొదటి $n$ అంశాల మొత్తం $S_{n}$ గా ఇవ్వబడింది. $S_{4}=-5$ అయితే కనుక $S_{6}=21S_{2}$ అని ఉంటే, $S_{8}$ విలువను కనుగొనండి.\n","-85"]
["medium-te-4","$l: x-my+1=0$ అనే రేఖ $\\odot C: (x-1)^{2}+y^{2}=4$ అనే వృత్తాన్ని A మరియు B బిందువుల వద్ద ఖండిస్తోంది. త్రిభుజం $\\triangle ABC$ యొక్క విస్తీర్ణం $\\frac{8}{5}$. $m$ యొక్క అన్ని సంభావ్య విలువలను కనుగొనండి.","${2, -2, \\frac{1}{2}, -\\frac{1}{2}}$"]
["medium-te-5","$\\sin(\\alpha - \\beta)=\\frac{1}{3}$ మరియు $\\cos \\alpha \\sin \\beta=\\frac{1}{6}$ అయితే కనుక, $\\cos (2\\alpha + 2\\beta).$ ను కనుగొనండి.","$\\frac{1}{9}$"]
["medium-te-6","ఫంక్షన్ $f(x)=\\cos \\omega x -1\\;(\\omega > 0)$ కు $[0, 2\\pi]$ అంతరం మీద 3 వర్గాలు ఉంటే, $\\omega$ యొక్క శ్రేణి ఏమిటి?","$[2,3)$"]
["medium-te-7","అతిపరావలయం $C$, $\\frac{x^{2}}{a^{2}} - \\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\\;(a > 0,b > 0).$ గా ఇవ్వబడింది. దాని ఎడమ మరియు కుడి కేంద్రములు వరుసగా $F_{1},F_{2}$. $A$ అనే బిందువు $C$ మీద మరియు $B$ అనే బిందువు $y-$ అక్షం మీద ఉన్నాయి. $\\overrightarrow{F_{1}A} \\perp \\overrightarrow{F_{1}B}$ and $\\overrightarrow{F_{2}A} = -\\frac{2}{3}\\overrightarrow{F_{2}B}$. $C$ యొక్క అసమకేంద్రతను కనుగొనండి?","$\\frac{3\\sqrt{5}}{5}$"]
["medium-te-8","\\(a = 0.1e^{0.1}\\), \\(b = \\frac{1}{9}\\), \\(c = -\\ln 0.9\\) అని అనుకోండి. \\(a\\), \\(b\\), మరియు \\(c\\) ల పరిమాణాలను పోల్చండి.","$c < a < b$"]
["medium-te-9","\\(C: \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{a^2 - 1} = 1 (a > 1)\\) అనే అతిపరావలయం మీద \\(A(2,1)\\) అనే బిందువు ఉంది, రేఖ \\(l\\)), \\(C\\) ను \\(P\\) మరియు \\(Q\\) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తోంది. \\(AP\\) మరియు \\(AQ\\) రేఖల ఏటవాలుల మొత్తం 0. \\(\\tan \\angle PAQ = 2\\sqrt{2}\\) అయితే కనుక, \\(\\triangle PAQ\\) విస్తీర్ణాన్ని కనుగొనండి.","$\\frac{16\\sqrt{2}}{9}$"]
["medium-te-10","శ్రేణి $\\{a_{n}\\}$ అనేది జ్యామితీయ శ్రేణి. $\\{a_{n}\\}$ మరియు $a_{n+1} = 2S_{n}+2$\nయొక్క మొదటి $n$ సంఖ్యల మొత్తం $S_n$ అవుతుంది. అప్పుడు $a_{4}$ విలువను కనుగొనండి?\n","54"]
["medium-te-11","అతిపరావలయం $\\frac{x^{2}}{a^{2}} - \\frac{y^{2}}{b^{2}} (a > 0, b > 0)$ యొక్క ఎడమ మరియు కుడి కేంద్రబిందువుల క్రమంగా $F_{1}, F_{2}$ ఉన్నాయి. ఒక అనంతస్పర్శరేఖ $F_{2}$ నుండి ఒక లంబ రేఖను గీసినప్పుడు, ఆ లంబ ఆధారం P బిందువుగా సూచించబడింది. కావున, $PF_{2} = 2$, మరియు $PF_{1}$ యొక్క ఏటవాలు $\\frac{\\sqrt{2}}{4}$ అయితే అప్పుడు ఆ అతిపరావలయం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.","$\\frac{x^{2}}{2} - \\frac{y^{2}}{4}=1$"]
["medium-te-12","A, B, C అనే మూడు పెట్టెలలో కొన్ని నల్లని మరియు తెల్లని బంతులు ఉన్నాయి. పెట్టెలలో మొత్తం బంతుల సంఖ్య 5:4:6 నిష్పత్తిలో ఉంది. ప్రతి పెట్టెలో నల్ల బంతుల శాతం వరుస 40%, 25%, మరియు 50% గా ఉంది. ప్రతి పెట్టెలో నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా ఎంచుకుంటే కనుక, ఎంచుకున్న మూడు బంతులు మొత్తం నల్ల రంగులో ఉండే సంభావ్యత $p_1$. మూడు పెట్టెల నుండి అన్ని బంతులను ఒక పెట్టెలో కలిపినప్పుడు, ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా ఎంచుకుంటే కనుక, ఆ బంతి తెల్ల రంగులో ఉండే సంభావ్యత $p_2$. $p_1 + p_2$ (దశాంశ రూపంలో)ను కనుగొనండి","0.65"]
["medium-te-13","$\\triangle ABC$, $\\angle A = 60^{\\degree}$, $BC=1$ లో， D బిందువు అనేది AB యొక్క మధ్య బిందువు అలాగే E బిందువు CD యొక్క మధ్య బిందువు. $\\overline{AB} = \\overrightarrow{a},\\overline{AC} = \\overrightarrow{b}$ అని అనుకుందాం. $\\overline{BF} = \\frac{1}{3}\\overline{BC}$ అయితే, $\\overline{AE} \\cdot \\overline{AF}$ యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{13}{24}$"]
["medium-te-14","ఒకవేళ ఫంక్షన్ $f(x)=ax^{2}-2x-|x^{2}-ax+1|$ కు కేవలం 2 వాస్తవిక మూలములు ఉంటే కనుక, $a$ యొక్క శ్రేణి ఎంత?","$(-\\infty, 0)\\cup(0,1)\\cup(1,+\\infty)$"]
["medium-te-15","$(1+2023x)^{100}+(2023-x)^{100}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\\ldots+a_{100}x^{100}$ అనుకుంటే, ఇక్కడ $a_{0},a_{1},a_{2},\\ldots,a_{100} \\in \\mathbb{R}$ మరియు $0 \\leq k \\leq 100$ మరియు $k \\in \\mathbb{N}$ ఉన్నపుడు, $a_{k} < 0$ అవ్వగలిగే $k$ యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి?","49"]
["medium-te-16"," A, B, C అనే మూడు బిందువులు $AB=BC=AC=1$ ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. మరో రెండు బిందువులను (ఏమైనా క్రమంలో) ఎంచుకునే ఎన్ని మార్గాలున్నాయి, తద్వారా ఎలా ఈ 5 బిందువులు (A, B, C మరియు ఈ రెండు అదనపు బిందువులు) సాధారణ చదరపు పిరమిడ్ యొక్క శీర్షాలుగా ఏర్పడగలిగేలా అవుతాయి?","9"]
["medium-te-17","$f(x)=\\sin(\\omega x + \\varphi)$ అనే ఫంక్షన్ $(\\frac{\\pi}{6}, \\frac{2\\pi}{3})$ అంతరంలో పెరుగుతుంది. అలాగే $x=\\frac{\\pi}{6}$ మరియు $x=\\frac{2\\pi}{3}$ వద్ద బిందువులు $y=f(x)$ యొక్క శీర్షములు అయితే . అప్పుడు $f(-\\frac{5\\pi}{12})?$ విలువను కనుగొనండి?","$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$"]
["medium-te-18","వాస్తవ సంఖ్యలైన $x,y$ లు $x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$ ను సంతృప్తిపరిస్తే కనుక, అప్పుడు $x-y?$ యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి?","$1+3\\sqrt{2}$"]
["medium-te-19","$\\theta \\in (0, \\frac{\\pi}{2}), \\tan \\theta = \\frac{1}{2}$ అయితే, $\\sin \\theta - \\cos \\theta$ విలువను కనుగొనండి.","$-\\frac{\\sqrt{5}}{5}$"]
["medium-te-20","క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థను సంతృప్తిపరిచే $x$ మరియు $y$ విలువలు ఉన్నాయి. $\\begin{cases} x-2y \\leq -1 \\\\ x+2y \\leq 9 \\\\ 3x+y \\geq 7 \\end{cases}$.$z=2x-y$ యొక్క గరిష్ట విలువ ఎంత?","8"]
["medium-te-21","అంకగణిత శ్రేణి $\\{a_{n}\\}$ యొక్క సామాన్య వ్యత్యాసం $\\frac{2\\pi}{3}$. $S$ సమితిని $S=\\{\\cos a_{n} | n \\in \\mathbb{N}^{+}\\}$గా ఉంచుదాం. $S=\\{a,b\\}$ అయితే, $ab$ యొక్క విలువను కనుగొనండి.","$-\\frac{1}{2}$"]
["medium-te-22","వృత్తం $\\odot O$ వ్యాసార్థం 1 కలిగి ఉంది. P అనేది వృత్తం వెలుపల ఉన్న ఒక బిందువు. PA రేఖ అనేది బిందువు $A$ వద్ద $\\odot O$ ను స్పర్శిస్తుంది. PB రేఖ $\\odot O$ ను B మరియు C బిందువుల వద్ద కలుస్తుంది. D అనేది BC యొక్క మధ్య బిందువు. $\\lvert OP \\rvert = \\sqrt{2}$ అయితే, $\\overrightarrow{PA} \\cdot \\overrightarrow{PD}$ యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{1+\\sqrt{2}}{2}$"]
["medium-te-23","క్రమం $\\{a_{n}\\}$ ఒక రేఖాగణిత క్రమం, ఇందులో $a_{2}a_{4}a_{5} = a_{3}a_{6}$ మరియు $a_{9}a_{10}=-8$. $a_{7}$ను కనుగొనండి.","-2"]
["medium-te-24","పిరమిడ్ $P-ABCD$ చదరపు పునాది $ABCD$ని కలిగి ఉంది మరియు $P$ అనేది అగ్ర శీర్షం. $AB=4$, $PC=PD=3$, మరియు $\\angle PCA=45^{\\degree}$. $\\triangle PBC$ యొక్క విస్తీర్ణాన్ని కనుగొనండి.","$4\\sqrt{2}$"]
["medium-te-25","దీర్ఘవృత్తాకారం $\\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{6}=1$ కు ఉన్న రెండు కేంద్ర బిందువులు $F_{1}$ మరియు $F_{2}$. O అనేది మూలబిందువు. P అనేది దీర్ఘవృత్తాకారంపై ఉన్న ఒక బిందువు, ఇది $\\cos\\angle F_{1}PF_{2}=\\frac{3}{5}$ ను సంతృప్తి పరుస్తుంది. $|PO|$ విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{\\sqrt{30}}{2}$"]
["medium-te-26","$\\triangle ABC$ లో, $AB=2$, $\\angle BAC=60^{\\degree}$, మరియు $BC=\\sqrt{6}$. $D$ బిందువు $BC$ పై ఉంది మరియు $AD$ bisects $\\angle BAC$. $AD$ ని కనుగొనండి.","2"]
["medium-te-27","త్రిభుజాకార పిరమిడ్ $P-ABC$లో, ఆధారం $\\triangle ABC$ అనునది ప్రస్తుత సమబాహు త్రిభుజం, దీని ప్రక్క పొడవు 2. $PA=PB=2$ and $PC= \\sqrt{6}$ ఈ పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం కనుగొనండి.","1"]
["medium-te-28","గ్రాఫ్ $y=f(x)$ ను, గ్రాఫ్ $y=\\cos \\left(2x+\\frac{\\pi}{6}\\right)$ను ఎడమ వైపుకు $\\frac{\\pi}{6}$ యూనిట్లు స్థానాంతరణ చేయడం ద్వారా పొందబడుతుంది. $y=f(x)$ గ్రాఫ్, రేఖ $y=\\frac{1}{2}x-\\frac{1}{2}$ తో ఎన్ని ఛేదబిందువులు కలిగి ఉంటుంది?","3"]
["medium-te-29","క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థను సంతృప్తిపరిచే $x$ and $y$ విలువలు ఉన్నాయి. $\\begin{cases} 3x-2y \\leq 3 \\\\ -2x+3y \\leq 3 \\\\ x+y \\geq 1 \\end{cases}$. $z=3x+2y$ యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఏమిటి?","15"]
["medium-te-30","ఒక శ్రేణి $\\{a_n\\} (n \\in \\mathbb{N}^{*})$ ఇవ్వబడింది,దీనిలో మొదటి పదం $a_1 = 1$ మరియు మొదటి $n$ పదాల మొత్తం $S_n$ గా సూచించబడింది.$\\lambda$ మరియు $k$ నిర్దిష్ట స్థిరాంకాలు అని ఊహిద్దాం.అన్ని ధన పరిపూర్ణ సంఖ్యల $n$ కోసం క్రింది సమీకరణం చెల్లుతుంది.\\[S_{n+1}^{1/k} - S_n^{1/k} = \\lambda a_{n+1}^{1/k}\\]ఈ విధమైన శ్రేణిని “$\\lambda \\sim k$” శ్రేణి అని పిలుస్తారు.ఇప్పుడు, నిర్దిష్ట $\\lambda$ విలువ కోసం,“$\\lambda \\sim 3$” శ్రేణి యొక్క ప్రమాణాలను సంతృప్తి పరిచే మూడు విభిన్న శ్రేణులు $\\{a_n\\}$ $a_n \\geq 0$ ఉండేలా చూడగలమా? అటువంటి శ్రేణులు ఉంటే, $\\lambda$ కు అనుగుణమైన విలువల శ్రేణిని కనుగొనండి.లేకపోతే, అటువంటి శ్రేణులు లేకపోవడానికి కారణాన్ని వివరించండి.","$0 < \\lambda < 1$"]
["medium-te-31","ఒక సంచి \\( A \\) లో 2 నలుపు బంతులు మరియు 1 తెల్ల బంతి ఉన్నాయి,అయితే మరొక సంచి \\( B \\) లో 3 తెలుపు బంతులు ఉన్నాయి.ప్రతి దశలో, ప్రతి సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీసి, ఆ బంతిని మరొక సంచితో మార్చుకుంటారు. ఈ ప్రక్రియ \\( n \\) మార్లు పునరావృతమవుతుంది.\\( X_n \\) సంచి \\( A \\) లోని నల్ల బంతుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది, మరియు \\( p_n \\) సంచి \\( A \\) లో ఖచ్చితంగా 2 నలుపు బంతులు ఉండే సంభావ్యతను సూచిస్తుంది, అదే విధంగా \\( q_n \\) సంచిలో ఖచ్చితంగా 1 నలుపు బంతి ఉండే సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.ఇప్పుడు, \\( n \\) యొక్క ఆశించిన విలువ \\( E(X_n) \\) of \\( X_n \\) యొక్క విధిగా గణించండి.","$1 + \\frac{1}{3^n}$"]
["medium-te-32","ఫంక్షన్ $f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$ అని అనుకుందాం, ఇక్కడ $a, b, c \\in \\mathbb{R}$, మరియు $f'(x)$ అనేది $f(x)$ యొక్క ఉత్పన్నం. ఇచ్చిన $a = 0, 0 < b \\leq 1, c = 1$, మరియు $f(x)$ యొక్క స్థానిక గరిష్ఠ విలువ $M$. $M$ యొక్క గరిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{4}{27}$"]
["medium-te-33","మొదటి పదం 1 మరియు ధనాత్మక సామాన్య నిష్పత్తితో ఉన్న ఒక జ్యామితీయ శ్రేణిని \"M-శ్రేణి\"గా నిర్వచించండి. $m$ ఒక ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్య అనుకోండి. ఒకవేళ ఏదైనా ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్య $k$ కోసం $k \\leq m$ అయినప్పుడు, $c_k \\leq b_k \\leq c_{k+1}$ అనే నియమం వర్తించే ఒక \"M-శ్రేణి\" $\\{c_n\\} (n \\in \\mathbb{N}^{*})$ ఉంటే, $m$ యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి.","5"]
["medium-te-34","ఇచ్చిన ఫంక్షన్లు $y = f(x)$, $y = g(x)$, మరియు $h(x) = kx + b$ $(k, b \\in \\mathbb{R})$, అసమానత $f(x) \\geq h(x) \\geq g(x)$ అనేది విరామం $D$లోని అన్ని $x$ విలువలకు సరిపడుతుంది. ఇవ్వబడిన సూత్రాలలో \\[f(x) = x^4 - 2x^2, g(x) = 4x^2 - 8, h(x) = 4(t^3 - t)x - 3t^4 + 2t^2, (0 < |t| \\leq \\sqrt{2}),\\]\\[D = [m, n] \\subseteq \\left[-\\sqrt{2}, \\sqrt{2}\\right],\\]. $n - m$ యొక్క గరిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","$\\sqrt{7}$"]
["medium-te-35","ఇవ్వబడిన సమితులు $A = \\{x \\mid x = 2n - 1, n \\in \\mathbb{N}^{*} \\}$ మరియు $B = \\{x \\mid x = 2^n, n \\in \\mathbb{N}^{*} \\}$. $A \\cup B$ లోని అన్ని మూలకాలను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చి ఒక శ్రేణి $\\{a_n\\}$ గా మార్చండి. $S_n$ ను శ్రేణి $\\{a_n\\}$ యొక్క మొదటి $n$ పదాల మొత్తం అని అనుకుందాం. $S_n > 12a_{n+1}$ అవ్వడానికి $n$ యొక్క కనిష్ట విలువ కనుగొనండి.","27"]
["medium-te-36","$\\{a_n\\}$ ఒక సామాంతర శ్రేణి అనుకుందాం, దీని మొదటి పదం $a_1$ మరియు సామాన్య భేదం $d$, మరియు $\\{b_n\\}$ ఒక గుణోత్తర శ్రేణి అనుకుందాం,దీని మొదటి పదం \n$b_1$ మరియు సామాన్య నిష్పత్తి $q$ కలిగి ఉందనుకుందాం.ఇచ్చిన విషయం ఏమిటంటే $a_1 = b_1 > 0, m \\in \\mathbb{N}^{*}, q \\in (1, \\sqrt{2}]$, ఒకవేళ $d \\in \\mathbb{R}$ ఉంటే అట్లు $|a_n - b_n| \\leq b_1$ అన్ని \n$n = 2,3,\\cdots,m+1$ కోసం నిజమవుతుంది, అప్పుడు $d$ యొక్క విలువల పరిధిని $b_1, m, q$ పరంగా కనుగొనండి.","$\\left[ \\frac{b_1(q^m - 2)}{m}, \\frac{b_1q^m}{m} \\right\\]$"]
["medium-te-37","$f(x)$ అనేది $\\mathbb{R}$ పై నిర్వచించబడి మరియు అవర్తనం $1$ కలిగిన ఒక ప్రమేయం అనుకుందాం. $[0,1)$ అంతరం లో, ప్రమేయం క్రింది విధంగా ఇవ్వబడింది: \\[f(x) =\\begin{cases} x^2, & x \\in D \\\\ x, & x \\notin D\\end{cases}\\], ఇక్కడ సమితి $D$ ఈ విధంగా నిర్వచించబడింది:\\[D = \\left\\{ x \\mid x = \\frac{n-1}{n}, n \\in \\mathbb{N}^{*} \\right\\},\\]. $f(x) - \\lg x = 0$ సమీకరణానికి ఎన్ని పరిష్కారములు ఉన్నాయో నిర్ధారించండి.","8"]
["medium-te-38","$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ అనే ఫంక్షన్ ఉన్నపుడు,ఇక్కడ$a > 0$ మరియు $b \\in \\mathbb{R}$, $f(x)$ కు తీవ్ర విలువలు ఉన్నాయని తెలిసింది, మరియు దాని ఉత్పన్నం $f'(x)$ యొక్క క్లిష్ట బిందువులు $f(x)$ యొక్క మూలాలు.(క్లిష్ట బిందువు అనేది స్వతంత్ర చలరాశి యొక్క విలువను సూచిస్తుంది, ఇక్కడ ఫలనం తీవ్ర విలువను పొందుతుంది.) ఒకవేళ $f(x)$ మరియు $f'(x)$యొక్క అన్ని తీవ్ర విలువల మొత్తం $-\\frac{7}{2}$ కంటే తక్కువ కాకపోతే, \n$a$ యొక్క విలువల పరిధిని నిర్ణయించండి.","$(3,6]$"]
["medium-te-39","అల్పకోణ త్రిభుజం $ABC$ లో, $\\sin A = 2\\sin B \\sin C$ అయితే, $\\tan A \\tan B \\tan C$ యొక్క కనిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","8"]
["medium-te-40","$U = \\{1,2,\\cdots,100\\}$ అనుకుందాం. ఒక శ్రేణి $\\{a_n\\} \\ (n \\in \\mathbb{N}^{*})$ మరియు $U$ యొక్క ఉపసమితి $T$ ఇచ్చినవి. ఒకవేళ $T = \\varnothing$ అయితే, $S_T = 0$ గా నిర్వచించండి.ఒకవేళ $T = \\{t_1, t_2, \\cdots, t_k\\}$ అయితే, ఇలా నిర్వచించండి \\[S_T = a_{t_1} + a_{t_2} + \\cdots + a_{t_k}.\\]. ఉదాహరణకు, $T = \\{1,3,66\\}$ అయినప్పుడు,$S_T = a_1 + a_3 + a_{66}$ అవుతుంది.$\\{a_n\\} \\ (n \\in \\mathbb{N}^{*})$ ఒక గుణోత్తర శ్రేణి అని అనుకుందాం.దీని సామాన్య నిష్పత్తి 3, మరియు $T = \\{2,4\\}$ అయినప్పుడు $S_T = 30$ అవుతుంది. $C \\subseteq U$, $D \\subseteq U$ మరియు $S_C \\geq S_D$ ఇచ్చినవి అనుకుందాం, $(S_C + S_{C \\cap D}) / S_D$.\\] యొక్క కనిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","2"]
["medium-te-41","$m, n \\in \\mathbb{N}^{*}$ను $n \\geq m$తో తీసుకుందాం. ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణ విలువను నిర్ణయించండి:\\[\\left( (m+1) C_m^m + (m+2) C_m^{m+1} + (m+3) C_m^{m+2} + \\cdots + n C_m^{n-1} + (n+1) C_m^n \\right) / \\left( 2(m+1) C_{n+2}^{m+2} \\right).\\]","$\\frac{1}{2}$"]
["medium-te-42","సదిశం \\(\\mathbf{a}_k = \\left(\\cos \\frac{k\\pi}{6}, \\sin \\frac{k\\pi}{6} + \\cos \\frac{k\\pi}{6}\\right)\\) అనుకుందాం, ఇక్కడ \\(k = 0, 1, 2, \\ldots, 12\\). \\(\\sum_{k=0}^{12} (\\mathbf{a}_k \\cdot \\mathbf{a}_{k+1})\\) యొక్క విలువను కనుకొనండి.","$9\\sqrt{3}$"]
["medium-te-43","ధనాత్మక సంఖ్యలు \\(a, b, c\\) ఇచ్చినవి, ఇవి కింది వాటిని సంతృప్తిపరుస్తాయి $$5c - 3a \\leq b \\leq 4c - a, c \\ln b \\geq a + c \\ln c,$$, \\(\\frac{b}{a}\\) యొక్క శ్రేణిని కనుగొనండి.","$[e,7]$"]
["medium-te-44","\\(a\\) మరియు \\(b\\)వాస్తవ సంఖ్యలు అని ఇచ్చినది, మరియు 1 మరియు -1 లు ఫలనం \\(f(x) = x^3 + ax^2 + bx\\) యొక్క క్లిష్ట బిందువులు. \\(h(x) = f(f(x)) - c\\)అనుకుందాం, ఇక్కడ \\(c \\in (-2, 2)\\). ఫలనం \\(y = h(x)\\) యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.","9"]
["medium-te-45","రెండు శ్రేణులు \\(\\{a_n\\}\\) మరియు \\(\\{b_n\\}\\) ఇచ్చినవి, ఇవి పూర్తిగా ధనాత్మక పదాలతో కూడి ఉండి కింది వాటిని సంతృప్తిపరుస్తాయి: $$a_{n+1} = \\frac{a_n + b_n}{\\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}, \\quad n \\in \\mathbb{N}^*.$$. \\(b_{n+1} = \\sqrt{2} \\cdot \\frac{b_n}{a_n}, \\, n \\in \\mathbb{N}^*\\) అనుకుందాం, మరియు \\(\\{a_n\\}\\) ఒక గుణోత్తర శ్రేణి అని ఊహించండి. \\(a_1 + b_1\\) యొక్క విలువను కనుగొనండి.","$2\\sqrt{2}$"]
["medium-te-46","చతురస్ర సమన్వయ వ్యవస్థ \\(xOy\\) లో, దీర్ఘవృత్తంన్ని పరిగణించండి $$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1 \\quad (a > b > 0)$$ దీని ఎడమ మరియు కుడి నాభులు \\(F_1(-c, 0)\\) మరియు \\(F_2(c, 0)\\) గా ఉన్నాయి. \\((1, e)\\) మరియు \\(\\left(e, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) పాయింట్లు దీర్ఘవృత్తంపై ఉన్నాయి, ఇక్కడ \\(e\\) దీర్ఘవృత్తకారపు అంగీకారం. \\(A\\) మరియు \\(B\\) దీర్ఘవృత్తంపై ఉన్న రెండు పాయింట్లు, \\(x\\)-అక్షం కంటే పైగా ఉన్నవి, \\(AF_1\\) సరిహద్దుకు \\(BF_2\\) సమాంతరంగా ఉన్నది మరియు \\(AF_2\\) \\(BF_1\\) ను పాయింట్ \\(P\\) వద్ద చీలుస్తుంది. \\(PF_1 + PF_2\\) విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{3\\sqrt{2}}{2}$"]
["medium-te-47","ఇది $1 < a \\leq 2$ ఇచ్చినది, మరియు ఫంక్షన్ $f(x)$ ను $f(x) = e^{x} - x - a$ గా నిర్వచించబడింది, ఇక్కడ $e = 2.71828\\cdots$ అనేది సహజ లాగారిథమ్ యొక్క ఆధారం. $x_0$ ను $(0, +\\infty)$ మధ్య $y = f(x)$ యొక్క జీరోగా తీసుకుందాం. $\\frac{ x_0 f(e^{x_0}) }{ (a-1)a }$ యొక్క కనిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","$e-1$"]
["medium-te-48","$a \\neq 0$ ఒక వాస్తవ సంఖ్య అనుకుందాం, మరియు ఫంక్షన్ $f(x) = a \\ln x + \\sqrt{x + 1}$  ను నిర్వచించండి, ఇక్కడ $x > 0$. ఏదైనా $x \\in \\left[\\frac{1}{e^2}, +\\infty\\right)$ కోసం $f(x) \\leq \\frac{\\sqrt{x}}{2a}$ నిజమవుతుంది. $a$ యొక్క విలువల పరిధిని కనుగొనండి. \\textbf{గమనిక:} $e = 2.71828\\cdots$ సహజ లాగరిథం యొక్క ఆధారం.","$(0, \\frac{\\sqrt{2}}{4}]$"]
["medium-te-49","బిందువు \\(P(0,1)\\) ఇచ్చినది, మరియు దీర్ఘవృత్తం $$\\frac{x^2}{4} + y^2 = m \\, (m > 1)$$ దీనిపై ఉన్న రెండు బిందువులు \\(A\\) మరియు \\(B\\), \\(\\overrightarrow{AP} = 2\\overrightarrow{PB}\\) ని సంతృప్తి పరుస్తున్నప్పుడు, పాయింట్ \\(B\\) యొక్క x-సమాధాన యొక్క పరిమాణం గరిష్టం అయినప్పుడు \\( m \\) విలువను కనుగొనండి.","5"]
["medium-te-50","శ్రేణి \\( \\{a_n\\} \\) కింది వాటిని సంతృప్తిపరుస్తుంది అనుకుందాం: $$|a_n - \\frac{a_{n+1}}{2}| \\leq 1, \\quad n \\in \\mathbb{N}^*.$$ ఒకవేళ \\(|a_n| \\leq \\left(\\frac{3}{2}\\right)^n, \\, n \\in \\mathbb{N}^*\\), అయితే, \\(|a_n|\\) యొక్క గరిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","2"]
["medium-te-51","దీర్ఘవృత్తం $$\\frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1, \\quad (a > 1).$$ను పరిగణించండి. ఒకవేళ \\(A(0,1)\\) బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైన ఏదైనా వృత్తం ఈ దీర్ఘవృత్తాన్ని కనీసం 3 సార్లు ఖండిస్తే, దీర్ఘవృత్తం యొక్క వికేంద్రత కోసం విలువల పరిధిని కనుగొనండి.","$(0, \\frac{\\sqrt{2}}{2}]$"]
["medium-te-52","యాంటీడెరివేటీవ్ కనుగొనండి: $\\int x \\sin x \\cos x d x $","$x / 4-\\left(x \\cos ^{2} x\\right) / 2+(\\cos x \\sin x) / 4 + C$"]
["medium-te-53","యాంటీడెరివేటివ్ను కనుగొనండి: $\\int \\arctan (\\sqrt{x}) d x $","$(x+1) \\arctan (\\sqrt{x}) - \\sqrt{x} + C$"]
["medium-te-54","$2 /(1-x)^{3}$ కోసం ఒక ఘాత శ్రేణి సూచనను కనుగొనండి.","$\\sum_{n=0}^{\\infty} (n+1)(n+2) x^{n}$"]
["medium-te-55","$100 /\\left(100-x^{2}\\right)^{3 / 2} $ అనే ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.","$\\frac{300 x}{\\left(100-x^{2}\\right)^{5 / 2}}$"]
["medium-te-56","ఒకవేళ $\\left(x_{1}, \\ldots, x_{n}\\right)$ అనేది $\\operatorname{Gamma}\\left(\\alpha_{0}, \\theta\\right)$పంపిణీ నుండి ఒక నమూనా అయితే, ఇక్కడ $\\alpha_{0} > 0$ మరియు $\\theta \\in(0, \\infty)$ తెలియనిది, అప్పుడు $\\theta$ యొక్క గరిష్ఠ సంభావ్యత అంచనను కనుగొనండి.","$\\hat{\\theta}=\\alpha_{0} / \\bar{x}$"]
["medium-te-57","పురుషుల ఎత్తులు (సెంటీమీటర్లలో) $N\\left(174,20^{2}\\right)$ పంపిణీని అనుసరిస్తాయని ఊహించండి, అయితే స్త్రీల ఎత్తులు $N\\left(160,15^{2}\\right)$ పంపిణీని అనుసరిస్తాయి. ఒక పురుష-స్త్రీ వివాహిత జంట యొక్క సగటు మొత్తం పొడవును లెక్కించండి.","334"]
["medium-te-58","మాత్రిక $$ A=\\left[\\begin{array}{ccc} e^{t} & \\cos t & \\sin t \\\\ e^{t} & -\\sin t & \\cos t \\\\ e^{t} & -\\cos t & -\\sin t \\end{array}\\right] $$ యొక్క ప్రత్యావర్తనాన్ని కనుగొనండి","$$\\left[\\begin{array}{ccc}\n\\frac{1}{2} e^{-t} & 0 & \\frac{1}{2} e^{-t} \\\\\n\\frac{1}{2} \\cos t+\\frac{1}{2} \\sin t & -\\sin t & \\frac{1}{2} \\sin t-\\frac{1}{2} \\cos t \\\\\n\\frac{1}{2} \\sin t-\\frac{1}{2} \\cos t & \\cos t & -\\frac{1}{2} \\cos t-\\frac{1}{2} \\sin t\n\\end{array}\\right]$$"]
["medium-te-59"," $X$ ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి అనుకుందాం, దీనికి $E(X)=0$ మరియు $V(X)=1$.ఏ పూర్ణాంక విలువ $k$ మనకు \n$P(|X| \\geq k) \\leq .01$ అని హామీ ఇస్తుంది?","10"]
["medium-te-60","ఈ ఫంక్షన్‌కు ఒక శ్రేణి సూచనను కనుగొనండి: $x+\\frac{1}{2} \\frac{x^{3}}{3}+\\frac{1 \\cdot 3}{2 \\cdot 4} \\frac{x^{5}}{5}+\\frac{1 \\cdot 3 \\cdot 5}{2 \\cdot 4 \\cdot 6} \\frac{x^{7}}{7}+\\cdots $","$(-1,1)$"]
["medium-te-61","ఈ పరిమితి మూల్యాంకనం చేయండి: $\\lim _{(x, y) \\rightarrow(1,-1)} \\frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x-y}$","$2$"]
["medium-te-62","ద్వంద్వ సమాకలనాన్ని మూల్యాంకనం చేయండి: $\\iint_{R} f(x, y) d A$,ఇక్కడ $f(x, y)=x^{2}+y$ మరియు $R$ అనేది శీర్షాలు \n$(0,0),(2,0)$ మరియు $(0,1)$కలిగిన త్రిభుజం.","$\\frac{6}{5} $"]
["medium-te-63","ప్రాథమిక పరిష్కారాల సమితిని కనుగొనండి: $(2 x+1) x y^{\\prime \\prime}-2\\left(2 x^{2}-1\\right) y^{\\prime}-4(x+1) y=0 ; \\quad y_{1}=1 / x$","$\\left\\{1 / x, e^{2 x}\\right\\}$"]
["medium-te-64","సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి: $y^{\\prime \\prime \\prime}+2 y^{\\prime \\prime}+y^{\\prime}=-2 e^{-x}\\left(7-18 x+6 x^{2}\\right)$","$y=x^{2} e^{-x}(1-x)^{2}+c_{1}+e^{-x}\\left(c_{2}+c_{3} x\\right)$"]
["medium-te-65","సాధారణ పరిష్కారం కనుగొనండి: $y^{\\prime \\prime \\prime}-6 y^{\\prime \\prime}+11 y^{\\prime}-6 y=e^{2 x}\\left(5-4 x-3 x^{2}\\right)$","$y=x e^{2 x}(1+x)^{2}+c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}+c_{3} e^{3 x}$"]
["medium-te-66","ఒక వృత్తంలో, వ్యాసం $1$, $\\overline{MN}$ ద్వారా రెండు అర్థచాపాలు ఏర్పడతాయి. $A$ మరియు $B$ అనే బిందువులు $\\overline{MN}$ ద్వారా నిర్ణయించబడిన ఒక అర్థచాపంలో ఉన్నాయని ఊహించుకుందాం, ఇందులో $A$ అర్థచాపం యొక్క మధ్యబిందువుగా ఉంటుంది మరియు $MB=\\dfrac{3}{5}$ . $C$ అనే బిందువు మరో అర్థచాపంలో ఉంది. వ్యాసం $\\overline{MN}$ మరియు కర్డులు $\\overline{AC}$ మరియు $\\overline{BC}$ కలిసే స్థానాల మధ్య విభజించే రేఖాఖండం యొక్క పొడవును $d$ అని సూచిస్తే, $d$ యొక్క గరిష్ట విలువను $r-s\\sqrt{t}$ రూపంలో వ్యక్తపరచవచ్చు, ఇక్కడ $r$, $s$, మరియు $t$ అనేవి సానుకూల పూర్ణసంఖ్యలు కాగా, $t$ ఏ ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గానికి భాగించదగినది కాదు. $r+s+t$ విలువ కనుగొనండి.","14"]
["medium-te-67","$\\{1,2,3,\\dots,2009\\}$ పూర్ణాంకాల సమితి నుండి, $a_i < b_i$ తో $k$ జతలను $\\{a_i,b_i\\}$ ఎంచుకోండి, తద్వారా రెండు జతలకు ఉమ్మడి మూలకం ఉండకూడదు. $a_i+b_i$ యొక్క అన్ని మొత్తాలు విభిన్నంగా మరియు $2009$ కంటే తక్కువగా లేదా సమానంగా ఉన్నాయని అనుకుందాం. $k$ యొక్క గరిష్ట సాధ్యమయ్యే విలువను కనుగొనండి.","803"]
["medium-te-68","నాలుగులైట్హౌస్‌లు $A$, $B$, $C$ మరియు $D$ వద్ద ఉన్నాయి. $A$ వద్ద ఉన్న లైట్హౌస్ $B$ వద్ద ఉన్న లైట్హౌస్‌ నుండి $5$ కిలోమీటర్ల దూరంలో ఉంది, $B$ వద్ద ఉన్న లైట్హౌస్ $C$ వద్ద ఉన్న లైట్హౌస్‌ నుండి $12$ కిలోమీటర్ల దూరంలో ఉంది, మరియు $A$ వద్ద ఉన్న లైట్హౌస్ $C$ వద్ద ఉన్న లైట్హౌస్‌ నుండి $13$ కిలోమీటర్ల దూరంలో ఉంది. $A$ వద్ద ఉన్న పరిశీలకుడి దృష్టిలో, $B$ మరియు $D$ వద్ద ఉన్న లైట్లచే ఏర్పడే కోణము మరియు $C$ మరియు $D$ వద్ద ఉన్న లైట్లచే ఏర్పడే కోణము సమానంగా ఉంటాయి. అలాగే, $C$ వద్ద ఉన్న పరిశీలకుడి దృష్టిలో, $A$ మరియు $B$ వద్ద ఉన్న లైట్లచే ఏర్పడే కోణము మరియు $D$ మరియు $B$ వద్ద ఉన్న లైట్లచే ఏర్పడే కోణము సమానంగా ఉంటాయి. $A$ నుండి $D$ వరకు దూరం $\\frac{p\\sqrt{r}}{q}$ గా ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ $p$, $q$, మరియు $r$ పరస్పరం అవలోమకమైన పాజిటివ్ సమతియులు, మరియు $r$ ఏ ప్రధాన సంఖ్య యొక్క చతురస్రముతో భాగించబడకూడదు. $p+q+r$ విలువను కనుగొనండి.","96"]
["medium-te-69","$a$ మరియు $b$ లను $a \\ge b$ తో ధనాత్మక వాస్తవ సంఖ్యలు అనుకోండి. $0 \\le x < a$ మరియు $0 \\le y < b$ లను సంతృప్తిపరిచే $(x,y)$ అనే ఒక సాధనను కలిగి ఉండే సమీకరణాల వ్యవస్థ \\[a^2 + y^2 = b^2 + x^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2\\] కోసం $\\dfrac{a}{b}$ యొక్క గరిష్ట సంభావ్య విలువ $\\rho$ అవుతుందని అనుకోండి. అప్పుడు $\\rho^2$ ని $\\dfrac{m}{n}$ అనే భిన్నంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ సాపేక్షంగా ప్రధానమైన ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు. $m + n$ విలువను కనుగొనండి.","7"]
["medium-te-70","ఒక కణం కోఆర్డినేట్ సమతలంలో $(5,0)$ వద్ద ఉంది. కణం యొక్క కదలికను నిర్వచించండి, అది మూలబిందువును కేంద్రంగా తీసుకుని $\\pi/4$ రేడియన్స్ వ్యతిరేక దిశలో తిప్పడం, ఆ తరువాత సానుకూల $x$-దిశలో $10$ యూనిట్ల దూరం తరలించడం. $150$ కదలికల తరువాత, కణం యొక్క స్థానం $(p,q)$ గా ఉంటుంది. $|p| + |q|$ కి సమానమైన లేదా తక్కువ గరిష్టమైన పూర్తి సంఖ్యను కనుగొనండి.","19"]
["medium-te-71","ఈ క్రమం $\\{a_n\\}$ ఈ విధంగా నిర్వచించబడింది \\[a_0 = 1,a_1 = 1, \\text{ and } a_n = a_{n - 1} + \\frac {a_{n - 1}^2}{a_{n - 2}}\\text{ for }n\\ge2.\\] ఈ క్రమం $\\{b_n\\}$ ఈ విధంగా నిర్వచించబడింది \\[b_0 = 1,b_1 = 3, \\text{ and } b_n = b_{n - 1} + \\frac {b_{n - 1}^2}{b_{n - 2}}\\text{ for }n\\ge2.\\] $\\frac {b_{32}}{a_{32}}$ ను కనుగొనండి.","561"]
["medium-te-72","త్రిభుజం $ABC$ లో సమాన వ్యాసార్థం కలిగిన నాలుగు వృత్తాలు $\\omega,$ $\\omega_{A},$ $\\omega_{B},$ మరియు $\\omega_{C}$ గీయబడ్డాయి. వీటిలో $\\omega_{A}$, $AB$ మరియు $AC$ పార్శ్వాలకు స్పర్శిస్తుంది, $\\omega_{B}$, $BC$ మరియు $BA$ పార్శ్వాలకు స్పర్శిస్తుంది, $\\omega_{C}$, $CA$ మరియు $CB$ పార్శ్వాలకు స్పర్శిస్తుంది. ఇక $\\omega$ వృత్తం $\\omega_{A},$ $\\omega_{B},$ మరియు $\\omega_{C}$ వృత్తాలకు బయటి స్పర్శన కలిగి ఉంటుంది. త్రిభుజం $ABC$ యొక్క భుజాల పొడవులు $13,$ $14,$ మరియు $15,$ అయినప్పుడు, $\\omega$ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని $\\frac{m}{n}$ రూపంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ పరస్పరం ప్రధానమైన సానుకూల సంఖ్యలు. $m+n.$ విలువను కనుగొనండి.","389"]
["medium-te-73"," $f(x)$ అనేది నిజమైన గుణకాలు గల ఒక బహుపదిగా అనుకుందాం.\nఇది క్రింది షరతులను సంతృప్తి పరుస్తుంది:\n$f(0) = 1,$ $f(2)+f(3)=125,$ అన్ని $x$ కొరకు, $f(x)f(2x^{2})=f(2x^{3}+x).$ $f(5).$ విలువను కనుగొనండి.","676"]
["medium-te-74","పెరుగుతున్న జ్యామితీయ శ్రేణి $x_{0},x_{1},x_{2},\\ldots$ పూర్తిగా $3.$ యొక్క పూర్ణాంక ఘాతాంకాలతో కలిగి ఉంది. $\\sum_{n=0}^{7}\\log_{3}(x_{n}) = 308$ మరియు $56 \\leq \\log_{3}\\left ( \\sum_{n=0}^{7}x_{n}\\right ) \\leq 57,$ ఉన్నప్పుడు, $\\log_{3}(x_{14}).$ ను కనుగొనండి.","91"]
["medium-te-75","ఒక వాస్తవ సంఖ్య $x,$ ఇచ్చినప్పుడు, $\\lfloor x \\rfloor$ అనేది $x.$ కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉన్న అతిపెద్ద పూర్ణాంకాన్ని సూచిస్తుంది. ఒక నిర్దిష్ట పూర్ణాంకం $k,$ కోసం, సరిగ్గా $70$ ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు $n_{1}, n_{2}, \\ldots, n_{70}$ ఉన్నాయి, అవి $k=\\lfloor\\sqrt[3]{n_{1}}\\rfloor = \\lfloor\\sqrt[3]{n_{2}}\\rfloor = \\cdots = \\lfloor\\sqrt[3]{n_{70}}\\rfloor$ మరియు $1 \\leq i \\leq 70.$ అయ్యే విధంగా అన్ని $i$ విలువలకు $k$, $n_{i}$ ను భాగిస్తుంది. $1\\leq i \\leq 70.$ కోసం $\\frac{n_{i}}{k}$ గరిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","553"]
["medium-te-76","$x, y,$ మరియు $z$ అనేవి క్రింది సమీకరణాలను సంతృప్తిపరిచే వాస్తవ సంఖ్యలు అయినప్పుడు:\n\\begin{align*} x &= \\sqrt{y^2-\\frac{1}{16}}+\\sqrt{z^2-\\frac{1}{16}}, \\\\ y &= \\sqrt{z^2-\\frac{1}{25}}+\\sqrt{x^2-\\frac{1}{25}}, \\\\ z &= \\sqrt{x^2 - \\frac 1{36}}+\\sqrt{y^2-\\frac 1{36}}, \\end{align*} మరియు $x+y+z = \\frac{m}{\\sqrt{n}},$ అక్కడ $m$ మరియు $n$ సానుకూల  పూర్ణాంకాలు మరియు $n$ ఇంకా ఏ ప్రధాన సంఖ్య యొక్క చతురస్రం గుణితంగా ఉండకూడదు. $m+n.$ విలువను కనుగొనండి. ","9"]
["medium-te-77","ఒక శ్రేణి $x_0=0$ మరియు $|x_k|=|x_{k-1}+3|$ అన్న నియమాన్ని అన్ని పూర్ణ సంఖ్యల $k\\ge 1,$ కోసం అనుసరిస్తుందని ఇవ్వబడింది. $|x_1+x_2+\\cdots+x_{2006}|.$ యొక్క కనిష్ట సాధ్యమైన విలువను కనుగొనండి.","27"]
["medium-te-78","వృత్త సమీకరణాలు $x^2+y^2+10x-24y-87=0$ మరియు $x^2 +y^2-10x-24y+153=0,$ ఈ రెండు వృత్తాలను $w_1$ మరియు $w_2$ గా సూచించండి.\n$w_2$ కి బాహ్యస్పర్శరేఖ మరియు $w_1.$ కి అంతర్గతంగాస్పర్శరేఖ కలిగి ఉండే వృత్తం యొక్క కేంద్రం రేఖ $y=ax$ పై ఉండే అతి తక్కువ సానుకూల $a$ విలువను కనుగొనండి.\nఈ విలువను $m$ గా సూచిస్తే, $m^2=\\frac{p}{q},$ ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ సాపేక్షంగా ప్రధాన పూర్ణాంకాలు $p+q.$ విలువను కనుగొనండి.","169"]
["medium-te-79","త్రిభుజం $ABC$ లో $BC=20.$ త్రిభుజం యొక్క అంతర్గోళం మధ్యరేఖ $AD.$ ను సమానంగా మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది. త్రిభుజం యొక్క విస్తీర్ణం $m \\sqrt{n}$ అయితే, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ పూర్తిసంఖ్యలు మరియు $n$ ప్రధాన సంఖ్య యొక్క చదరానికి గుణితంకాదు, $m+n.$ ను కనుగొనండి.","38"]
["medium-te-80","1000 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన ఎన్ని సానుకూల పూర్ణాంకాలు $n$ కొరకు, ఈ సమీకరణం $(\\sin t + i \\cos t)^n = \\sin nt + i \\cos nt$ అన్ని నిజ సంఖ్యల $t$ కొరకు నిజమవుతుంది?\n","250"]
["medium-te-81","ఒక కవాటైన బహుముఖం $P$ కు 26 శిఖరాలు, 60 అంచులు, మరియు 36 ముఖాలు ఉన్నాయి, వీటిలో 24 త్రిభుజాకారమైనవి మరియు 12 చతుర్భుజాకారమైనవి. ఒక స్థల కర్ణం అనేది రెండు సమీపం కాని శిఖరాలను కలిపే రేఖాఖండం, కానీ అవి ఒకే ముఖానికి చెందకూడదు. $P$ లో మొత్తం ఎంతమంది స్థల కర్ణాలు ఉన్నాయి?","241"]
["medium-te-82","ఒక పురుగు ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షం వద్ద ప్రారంభమవుతుంది. ప్రతి కదలికలో, ఇది ప్రస్తుతం లేని రెండు శీర్షాలలో ఒకదాన్ని యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకుంటుంది మరియు ఆ శీర్షానికి వెళ్లేందుకు త్రిభుజం యొక్క భుజం వెంట క్రమంగా సాగుతుంది. పురుగు తన పదవ కదలికలో మొదటి కూర్చున్న స్థానానికి తిరిగి రావలసిన సంభావ్యత $m/n,$ అయితే, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ సాపేక్షంగా ప్రధాన ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు, $m + n.$ ను కనుగొనండి.","683"]
["medium-te-83","$m/n,$ యొక్క దశాంశ ప్రత్యినిధ్యం, ఇక్కడ $m$  మరియు $n$ సాపేక్షంగా ప్రధాన \nధనాత్మక సంఖ్యలు $m < n,$ 2, 5, మరియు 1 అంకెలు వరుసగా అదే క్రమంలో కనిపించాలి.\n\nఈ పరిస్థితి సాధ్యమయ్యే కనిష్ఠ $n$ విలువను కనుగొనండి.","127"]
["medium-te-84","\\(1, 2, 3, 4, \\ldots, 1000\\) లలో, \\(a^2 - b^2 + 1 \\ (a, b \\in \\mathbb{N})\\) రూపంలో వ్యక్తీకరించగల మరియు 3 తో భాగించబడని సంఖ్యలు ఎన్ని?","501"]
["medium-te-85","\\(a_1, a_2, \\ldots, a_{21}\\) అనే జ్యామితీయ క్రమం క్రింది షరతులను సంతృప్తిపరచాలి: ప్రతి \\(|a_{n+1} - a_n| = 1 \\ (n = 1, 2, \\ldots, 20)\\), \\(a_1, a_7, a_{21}\\) లు ఒక జ్యామితీయ క్రమం ఏర్పరుస్తాయి. ఇవ్వబడిన షరతులు: \\(a_1 = 1\\) మరియు \\(a_{21} = 9\\).","15099"]
["medium-te-86","ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు \\(m\\) మరియు \\(n\\) రెండూ మౌలిక సంఖ్యలు అని ఇచ్చినది, మరియు \\(7m + n\\) మరియు \\(mn + 11\\) కూడా ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే, \\(m^n + n^m\\) యొక్క విలువను కనుగొనండి.","17"]
["medium-te-87","ప్రాంతం \\(S = \\{(x, y) | x, y \\in [0, \\frac{\\pi}{2}], \\cos^2 x + \\sin x \\sin y + \\cos^2 y \\geq \\frac{5}{4}\\}\\) యొక్క వైశాల్యం ఎంత?","$\\frac{\\pi^2}{6}$"]
["medium-te-88","\\( n \\) ఒక ధనాత్మక పూర్ణాంకం అనుకుందాం, మరియు \\[\\sum_{k=0}^n \\frac{(-1)^k \\binom{n}{k}}{k^3 + 9k^2 + 26k + 24} = \\frac{1}{312},\\] అని ఊహించండి, \\( n \\) యొక్క విలువను కనుగొనండి.","9"]
["medium-te-89","\\( n \\geq 4 \\) అనే పూర్ణాంకం అనుకుందాం. \\( 1, 2, \\cdots, n \\) సంఖ్యలతో ఉన్న కార్డులను సమాన సంభావ్యతతో పునర్వినియోగంతో తీస్తారు, మరియు ప్రతి సంఖ్య రికార్డు చేయబడుతుంది. ఒకవేళ \\( 1 \\) మరియు \\( 2 \\) రెండూ కనిపిస్తే లేదా \\( 3 \\) మరియు \\( 4 \\) రెండూ కనిపిస్తే, తీయడం ఆగిపోతుంది. కార్డుల తీతల సంఖ్య యొక్క గణితపూర్వక అంచనాను కనుగొనండి.","$\\frac{11n}{12}$"]
["medium-te-90","సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యలు \\( k_1, k_2, k_3 \\) సంతృప్తి పరుస్తాయి \\( k_1 < k_2 < k_3 \\); వాస్తవ సంఖ్యలు \\( c_1, c_2 \\) సంతృప్తి పరుస్తాయి \\( c_1 = k_2 - k_1, c_2 - c_1 = 2(k_3 - k_2) \\). ఈ విధులు నిర్వచించబడతాయి: \\[f(x) = \\begin{cases} k_1 x, & 0 \\leq x \\leq 1 \\\\k_2 x - c_1, & 1 < x \\leq 2 \\\\k_3 x - c_2, & x > 2 \\end{cases}\\] మరియు \\[g(x) = \\begin{cases} k_1 x, & 0 \\leq x \\leq 1 \\\\k_2 x - \\frac{c_1}{12}, & 1 < x \\leq 2 \\\\k_3 x - \\frac{c_2}{12}, & x > 2 \\end{cases}\\]\nప్రశ్న ఏమిటంటే \\( k_1, k_2, k_3 \\) పై ఏ పరిస్థితులలో  \\( A > 0 \\)  ఉంటుంది అంటే  \\([0, A]\\) పై నిర్వచించబడిన విధులు \\( g(x) + f(A-x) \\) దాని కనిష్ట విలువను ఖచ్చితంగా రెండు పాయింట్ల వద్ద పొందుతుంది? ","$k_3 = \\frac{23}{12}k_2 - \\frac{11}{12}k_1$"]
["medium-te-91","\\(n\\) అనేది ఇచ్చిన ధన పూర్ణాంకం అనుకుందాం. \\(a_1, a_2, \\cdots, a_n\\) అనే క్రమం ప్రతి \\(m \\leq n\\) కు \\(\\left| \\sum_{k=1}^{m} \\frac{a_k}{k} \\right| \\leq 1\\) ను సంతృప్తిపరిచే వాస్తవ సంఖ్యల శ్రేణి. \\(\\left| \\sum_{k=1}^{n} a_k \\right|\\) యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి.","$2n-1$"]
["medium-te-92","సమితి \\(P = \\{a_1, a_2, \\cdots, a_m\\}\\) యొక్క సగటు \\(C_P = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_m}{m}\\) అని అనుకొండి. ఇప్పుడు, \\(S = \\{1, 2, \\cdots, n\\}\\) ను శూన్యం కాని మరియు వియుక్త ఉపసమితులు \\(A\\) మరియు \\(B\\) గా విడగొట్టండి. \\(|C_A - C_B|\\) యొక్క గరిష్ట విలువను కనుగొనండి మరియు గరిష్టం వచ్చినప్పుడు ఉండే విభిన్న క్రమీకృత జంటలు \\((A, B)\\) సంఖ్యని చర్చించండి. ","$\\frac{n}{2}; 2n-2$"]
["medium-te-93","\\(A, B, C\\) లు \\(\\triangle ABC\\)యొక్క మూడు అంతర కోణాలు అనుకుందాం. \\(3 \\cos A + 2 \\cos 2B + \\cos 3C\\) యొక్క పరిధిని కనుగొనండి.","$(-\\frac{25}{16}, 6)$"]
["medium-te-94","ఒక ధనాత్మక పూర్ణాంకం \\(n(n \\geq 2)\\)ఇచ్చినది. \n\\(2n\\) ధనాత్మక వాస్తవ సంఖ్యలు \\(a_1, a_2, \\cdots, a_{2n}\\) ఉన్నాయి, ఇవి కింది వాటిని సంతృప్తిపరుస్తాయి:  \\[\\sum_{k=1}^n a_{2k-1} \\cdot \\sum_{k=1}^n a_{2k} = \\prod_{k=1}^n a_{2k-1} + \\prod_{k=1}^n a_{2k}.\\]. \\(S = \\sum_{k=1}^{2n} \\frac{a_k^{n-1}}{a_{k+1}}\\) యొక్క కనిష్ఠ విలువను కనుగొనండి, ఇక్కడ\\(a_{2n+1} = a_1\\).","$n^3$"]
["medium-te-95","ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు \\(a, b\\) (\\(a \\leq b\\)) ఇచ్చినవి.\nశ్రేణి  \\(\\{f_n\\}\\) కింది వాటిని సంతృప్తిపరుస్తుంది:  \\[ f_1 = a, \\quad f_2 = b, \\quad f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \\quad (n = 1, 2, \\cdots).\\] ఏదైనా ధనాత్మక పూర్ణాంకం \\(n\\) కోసం, ఒకవేళ \\(\\left( \\sum_{k=1}^{n} f_k \\right)^2 \\leq A \\cdot f_n f_{n+1}\\) నిజమైతే, వాస్తవ సంఖ్య  \\(A\\) యొక్క కనిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.","$2 + \\sqrt{5}$"]
["medium-te-96","\\( \\sigma \\) (\\( \\sigma > 0 \\)) తెలియని పరామితితో \\( N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right) \\) వితరణ నుండి \\( X_{1}, X_{2} \\) సాధారణ యాదృచ్ఛిక నమూనాలు అనుకొండి. \\( \\hat{\\sigma} = a\\left|X_{1} - X_{2}\\right| \\) అనేది \\( \\sigma \\) యొక్క నిష్పక్షపాత అంచనాదారు అయితే,a ని నిర్ణయించండి. ","$\\frac{\\sqrt{\\pi}}{2}$"]
["medium-te-97","\\( f \\) అనేది \\([a, b]\\) మీద నిర్వచించబడిన నిరంతర ఫలనం అనుకుందాం. స్థిరాంకం \\( c \\) ను నిర్ణయించండి, అట్లు కింది సీమ నిజమవుతుంది, మరియు దానిని సాధించండి: \\[\\lim_{n \\to \\infty} \\int_a^b f(x) |\\sin nx| \\, dx = c \\int_a^b f(x) \\, dx.\\]","$\\frac{2(b-a)}{\\pi}$"]
["medium-te-98","$V$ అనేది అన్ని నిరంతర ఫలనాల సమితి అనుకుందాం, ఇక్కడ $f\\colon [0,1]\\to \\mathbb{R}$, $(0,1)$ మీద భేదకారమైనవి, మరియు $f(0)=0$ మరియు $f(1)=1$ అనే లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. అన్ని $\\alpha \\in \\mathbb{R}$ లను నిర్ణయించండి, అట్లు ప్రతి $f\\in V$ సం, కొన్ని$\\xi \\in (0,1)$ ఉంటాయి అని, ఇక్కడ \\[f(\\xi)+\\alpha = f'(\\xi)\\].","$\\frac{1}{e-1}$"]
["medium-te-99","\\( s \\geq 0 \\), \\[\\varphi(s) = \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{\\ln(1 + sx^2)}{x(1 + x^2)} \\, dx.\\] \\(\\varphi(1) + \\varphi(2)\\) విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{5\\pi^2}{24}$"]
["medium-te-100","\\[A = \\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{pmatrix}\\] అనేది వాస్తవ సంఖ్యలు \\(\\mathbb{R}\\) మీద ఒక విలోమం కాని \\(3 \\times 3\\) మాత్రిక అనుకుందాం. ఒకవేళ \\( A \\) యొక్క సహాయ మాత్రిక \\( A^* \\) కింది విధంగా ఇచ్చినట్లయితే: \\[A^* = \\begin{pmatrix} a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\\\ a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\\\ a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2 \\end{pmatrix},\\], \\( |A| \\)ను కనుగొనండి.","0"]
["medium-te-101","$I_n = n \\int_1^a \\frac{dx}{1+x^n}$ అనుకుందాం, ఇక్కడ $a > 1$. $\\lim_{n \\to \\infty} I_n$ యొక్క సరిహద్దును కనుగొనండి.","$\\ln2$"]
["medium-te-102","\\( z = f(x, y) \\) అనేది ప్రాంతం. \\[ D = \\{(x, y) | 0 \\leq x \\leq 1, 0 \\leq y \\leq 1 \\} \\] మీద భేదకారమైన ఫంక్షన్ అనుకుందాం, ఇక్కడ \\( f(0, 0) = 0 \\), మరియు \\( \\left. \\mathrm{d}z \\right|_{(0,0)} = 3 \\mathrm{d}x + 2 \\mathrm{d}y \\). ఈ లిమిట్‌ను కనుగొనండి \\[\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{\\int_0^{x^2} \\mathrm{d}t \\int_x^{\\sqrt{t}} f(t, u) \\mathrm{d}u}{1 - \\sqrt[4]{1-x^4}}.\\]","-2"]
["medium-te-103","ఫంక్షన్ \\( f(x) \\) అనేది అంతరం \\((-1, 1)\\), with \\( f(0) = 1 \\) మీద రెండుసార్లు భేదకారమైనది అనుకోండి. అదనంగా \\( x \\geq 0 \\) కోసం, \\( f(x) \\geq 0 \\), \\( f'(x) \\leq 0 \\), మరియు \\( f''(x) \\leq f(x) \\) అని ఇచ్చినది. \\( f'(0) \\) యొక్క కనిష్ఠ విలువను నిర్ణయించండి.","$-\\sqrt{2}$"]
["medium-te-104","$\\lim_{x \\to +\\infty}\\sqrt{x^2+x+1}\\frac{x-ln(e^x+x)}{x}$ ను మూల్యాంకనం చేయండి.","0"]
["medium-te-105","$z=z(x,y)$ అనేది $2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z$ నుండి రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన అవ్యక్త ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి. $\\frac{\\partial z}{\\partial x}+\\frac{\\partial z}{\\partial y}$ ను కనుగొనండి.","1"]
["medium-te-106","$f(x)$ ఒక నిరంతర ఫంక్షన్ అనుకుందాం, ఇక్కడ $f(0)\\neq0$. $\\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt}{x\\int_{0}^{x}f(x-t)dt}$ కనుగొనండి.","1"]
["medium-te-107","$D=\\{ (x,y)|x^2+y^2\\le \\pi \\}$ అనుకుందాం. ద్విసమాకలనాన్ని కనుగొనండి: $\\iint\\limits_D(sin x^2cosx^2+x\\sqrt{x^2+y^2})dxdy$ ","$\\pi$"]
["medium-te-108","$x_1=2021$, $x_n^2-2(x_n+1)x_{n+1}+2021=0$ ($n\\geq1$) అనుకుందాం. శ్రేణి ${x_n}$ సంగమిస్తుందని సాధించండి. పరిమితిని కనుగొనండి $\\lim_{n \\to \\infty} x_n$.","$\\sqrt{2022} - 1$"]
["medium-te-109","డిగ్రీ $4$ ఉన్న సజాతీయ ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి. $f(x,y,z)=a_1x^4+a_2y^4+a_3z^4+3a_4x^2y^2+3a_5y^2z^2+3a_6x^2z^2$. $\\oiint_{\\sum} f(x,y,z)dS$ని కనుగొనండి, ఇక్కడ $\\sum: x^2+y^2+z^2=1$.","$\\frac{4\\pi}{5} \\sum_{i=1}^{6}a_i$"]
["medium-te-110","${a_n}$ మరియు ${b_n}$ లు ఈ క్రింది షరతును సంతృప్తిపరిచే ధనాత్మక వాస్తవ శ్రేణి అని అనుకుందాం: (i) $a_1=b_1=1$ (ii) $b_n=a_n b_{n-1}-2$ (iii) $n$ అనేది $1$ కంటే పెద్ద పూర్ణాంకం. ${b_n}$ అనేది బౌండెడ్ సీక్వెన్స్ అని అనుకుందాం. $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_1a_2\\cdots a_n}$ కలుస్తుందని నిరూపించండి. మొత్తం విలువను కనుగొనండి.","$\\frac{3}{2}$"]
["medium-te-111","$I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\cos x}{1+\\tan x}dx$ ని కనుగొనండి.","$\\frac{1}{2\\sqrt{2} \\ln\\frac{\\sqrt{2}+2}{2-\\sqrt{2}}$"]
["medium-te-112","$\\sum_{n=1}^{+\\infty}arctan\\frac{2}{4n^2+4n+1}.$ ని కనుగొనండి.","$\\arctan{\\frac{1}{2}}$"]
["medium-te-113","క్లోజ్డ్ రీజియన్ $D=\\{(x,y)|x^2+y^2\\leq1\\}$ లో నిరంతర రెండవ-క్రమ పాక్షిక భేదం ఉన్న ఫంక్షన్ $f(x,y)$ అని అనుకుందాం, తద్వారా $\\frac{\\partial^2f }{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2f }{\\partial y^2}=x^2+y^2$. $\\lim_{r \\to 0^+} \\frac{\\int\\int_{x^2+y^2\\leq r^2}^{}(x\\frac{\\partial f}{\\partial x}+y\\frac{\\partial f}{\\partial y})dxdy}{(\\tan r-\\sin r)^2}$ ను కనుగొనండి.","$\\frac{\\pi}{3}$"]
["medium-te-114","ప్రతి దిశాంకిత మృదువైన మూసివున్న ఉపరితలం $S$, $R^3$ లోని అర్ధ స్థలంలో $\\{ (x,y,z)\\in R^3 |x > 0\\}$ ఉందని ఇచ్చినది, ఇక్కడ $\\int\\int_{S}^{}xf'(x)dydz+y(xf(x)-f'(x))dzdx-xz(\\sin x+f'(x))dxdy=0$ అనేది నిజం. ఇక్కడ $f$ అనేది అంతరం $(0,+\\infty)$ మీద రెండుసార్లు నిరంతరంగా భేదకారమైనది మరియు $\\lim_{x \\to 0^+} f(x)=\\lim_{x \\to 0^+} f'(x)=0$. $f(x)$ ను కనుగొనండి.","$e^{\\frac{1}{2}x} \\left( -\\cos\\frac{\\sqrt{3}}{2}x + \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\sin\\frac{\\sqrt{3}}{2}x \\right) + \\cosx$"]
["medium-te-115","$m\\ge 5$ ఒక బేసి పూర్ణాంకం అనుకుందాం, మరియు $D(m)$ అనేది భిన్నమైన పూర్ణాంకాల చతుష్టయాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది, ఇవి $\\big(a_1, a_2, a_3, a_4\\big)$ రూపంలో ఉంటాయి, ఇక్కడ $1\\le a_i \\le m$ అన్ని $i$ కోసం నిజం, మరియు $m$ అనేది $a_1+a_2+a_3+a_4$ ను భాగిస్తుంది. ఒక బహుపది $$q(x) = c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$$ ఉంది, అట్లు $D(m) = q(m)$ అన్ని బేసి పూర్ణాంకాల$m\\ge 5$ కోసం నిజం. \n$c_1?$ ఎంత?","11"]
["medium-te-116","$a, b,$ మరియు $c$ లను ధనాత్మక పూర్ణాంకాలుగా భావించండి, తద్వారా $a+b+c=23$ మరియు\\[\\gcd(a,b)+\\gcd(b,c)+\\gcd(c,a)=9.\\]$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ యొక్క అన్ని విభిన్న విలువల మొత్తం ఎంత?","438"]
["medium-te-117","ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య $a$ కోసం, ఇక్కడ $0 \\leq a \\leq 1$, సంఖ్యలు $x$ మరియు $y$లను స్వతంత్రంగా యాదృచ్ఛికంగా అంతరాలు $[0, a]$ మరియు $[0, 1]$,నుండి వరుసగా ఎంచుకోబడతాయి, మరియు $P(a)$ అనేది ఈ కింది సంభావ్యతను సూచిస్తుంది: $$\\sin^2{(\\pi x)} + \\sin^2{(\\pi y)} > 1.$$.$P(a)?$ యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఏమిటి?","$2-\\sqrt{2}$"]
["medium-te-118","సంఖ్య $a = \\frac{p}{q}$ ఇక్కడ మరియు $p$ మరియు $q$ సాపేక్షంగా ప్రధాన ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు, ఈ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంది: అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల $x$ యొక్క మొత్తం, ఇవి $$\\lfloor x \\rfloor \\cdot \\{x\\} = a \\cdot x^2$$ ను సంతృప్తిపరుస్తాయి, $420$ అని ఉంది. ఇక్కడ $\\lfloor x \\rfloor$ అనేది $x$ కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన అతిపెద్ద పూర్ణాంకాన్ని సూచిస్తుంది మరియు $\\{x\\} = x - \\lfloor x \\rfloor$ అనేది $x$ యొక్క భిన్న భాగాన్ని సూచిస్తుంది. $p + q?$ ఎంత?","929"]
["medium-te-119","$(a_n)$ మరియు $(b_n)$ లను వాస్తవ సంఖ్యల శ్రేణులుగా భావించండి, అంటే $n\\geq 0$ అనే అన్ని పూర్ణాంకాలకు \\[(2 + i)^n = a_n + b_ni\\], ఇక్కడ $i = \\sqrt{-1}$. \\[\\sum_{n=0}^\\infty\\frac{a_nb_n}{7^n}\\,?\\]","$\\frac{7}{16}$"]
["medium-te-120","1 కంటే పెద్ద విలువలు గల పూర్ణ సంఖ్యలు $a$, $b$ మరియు $c$, ఉంటే, క్రింది సమీకరణం సమానంగా ఉంటుంది: $$\\sqrt[a]{N \\sqrt[b]{N \\sqrt[c]{N}}} = \\sqrt[36]{N^{25}}$$  ప్రతి $N > 1$ విలువ కోసం ఇది సత్యం. అయితే, $b$ విలువ ఎంత?\n\n ","3"]
["medium-te-121","$\\triangle A_0B_0C_0$ అనేది ఒక త్రిభుజం, దీని కోణ కొలతలు ఖచ్చితంగా $59.999^\\circ$, $60^\\circ$ మరియు $60.001^\\circ$. ప్రతి ధనాత్మక పూర్ణాంకానికి $n$ $A_n$ ను $A_{n-1}$ నుండి $B_{n-1}C_{n-1}$ రేఖకు ఎత్తు యొక్క అడుగుగా నిర్వచించండి. అదేవిధంగా, $B_n$ ను $B_{n-1}$ నుండి $A_{n-1}C_{n-1}$ రేఖకు ఎత్తు యొక్క అడుగుగా నిర్వచించండి మరియు $C_n$ ను $C_{n-1}$ నుండి $A_{n-1}B_{n-1}$ రేఖకు ఎత్తు యొక్క అడుగుగా నిర్వచించండి. $\\triangle A_nB_nC_n$ అస్పష్టంగా ఉన్నందుకు కనీస ధనాత్మక పూర్ణాంకం $n$ ఏమిటి?","15"]
["medium-te-122","$ABCD$ ఒక కుంభాకార చతుర్భుజం అనుకుందాం, ఇక్కడ $BC=2$ మరియు $CD=6.$,$\\triangle ABC,\\triangle BCD,$, మరియు $\\triangle ACD$ ల గురుత్వ కేంద్రాలు ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలను ఏర్పరుస్తాయని ఊహించండి. $ABCD$ యొక్క వైశాల్యం యొక్క గరిష్ఠ సాధ్యమైన విలువ ఎంత?","$12+10\\sqrt{3}$"]
["medium-te-123","$s_k$ అనేది బహుపదం $x^3-5x^2+8x-13$ యొక్క మూలాలు యొక్క $\\textit{k}$వ శక్తుల మొత్తం సూచిస్తుందని అనుకుందాం. ముఖ్యంగా, $s_0=3$, $s_1=5$, మరియు $s_2=9$. $a$, $b$, మరియు $c$ లు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు, అంటే $s_{k+1} = a \\, s_k + b \\, s_{k-1} + c \\, s_{k-2}$ for $k = 2$, $3$, $....$ $a+b+c$ అంటే ఏమిటి?","10"]
["medium-te-124","సానుకూల పూర్ణాంకాలు $n$ మరియు శూన్యం కాదని అంకెలు $a$, $b$, మరియు $c$, క్రింది విధంగా నిర్వచించాలి: $A_n$ అంకెల $n$-కలిగిన పూర్ణ సంఖ్య, ఇందులో ప్రతి అంకె $a$; గా ఉంటుంది.\n$B_n$ అంకెల $n$-కలిగిన పూర్ణ సంఖ్య, ఇందులో ప్రతి అంకె $b$, గా ఉంటుంది.\n$C_n$ అంకెల $2n$- కలిగిన పూర్ణ సంఖ్య, ఇందులో ప్రతి అంకె $c$ (not $n$-digit).\n$C_n - B_n = A_n^2$ తృప్తి పరచే కనీసం రెండు విలువల $n$ ఉన్నప్పుడు $a + b + c$ యొక్క గరిష్ఠ (అత్యధిక) సంభావ్య విలువ ఏమిటి?","18"]